在中專學校機械類各專業中，《互換性與測量技術基礎》是一門重要的技術基礎課，該課程內容十分豐富，而教學課時相對較少，許多重點和難點內容難以作詳細講解。其中形位公差與技術測量的內容學生理解掌握更 為困難，在四項形位公差中，直線度與平面度誤差的測量是一般機械制造行業主要的檢測項目，故要求學生重點學習和掌握。直線度誤差的測量相對較為簡單，而平 面度誤差的測量及數據處理比較復雜，且理解困難。本文僅對平面度誤差的測量和數據處理作較為詳細的介紹，希望初學者能盡快掌握這一重點和難點內容。

  一、大理石平臺平面度誤差的測量 

平面度誤差是指被測實際表面對其理想平面的變動量。 

平面度誤差是將被測實際表面與理想平面進行比較，兩者之間的線值距離即為平面度誤差值；或通過測量實際表面上若干點的相對高度差，再換算以線值表示的平面度誤差值。 

  度誤差測量的常用方法有如下幾種： 

1、平晶干涉法：用光學平晶的工作面體現理想平面，直接以干涉條紋的彎曲程度確定被測表面的平面度誤差值。主要用于測量小平面，如量規的工作面和千分尺測頭測量面的平面度誤差。 

2、打表測量法：打表測量法是將被測零件和測微計放在標準平板上，以標準平板作為測量基準面，用測微計沿實際表面逐點或沿幾條直線方向進行測量。打表測量 法按評定基準面分為三點法和對角線法：三點法是用被測實際表面上相距最遠的   點所決定的理想平面作為評定基準面，實測時先將被測實際表面上相距最遠的三點 調整到與標準平板等高；對角線法實測時先將實際表面上的四個角點按對角線調整到兩兩等高。然后用測微計進行測量，測微計在整個實際表面上測得的最大變動量 即為該實際表面的平面度誤差。 

3、液平面法：液平面法是用液平面作為測量基準面，液平面由 “連通罐”內的液面構成，然后用傳感器進行測量。此法主要用于測量大平面的平面度誤差。 

4、光束平面法：光束平面法是采用準值望遠鏡和瞄準靶鏡進行測量，選擇實際表面上相距最遠的三個點形成的光束平面作為平面度誤差的測量基準面。 

除上述方法可測量平面度誤差外，還有采用平面干涉儀、水平儀、自準直儀等用于測量大型平面的平面度誤差。

  二、大理石平臺平面度誤差的評定方法 

平面度誤差的評定方法有：三遠點法、對角線法、最小二乘法和最小區域法等四種。 

1、三遠點法：是以通過實際被測表面上相距最遠的三點所組成的平面作為評定基準面，以平行于此基準面，且具有最小距離的兩包容平面間的距離作為平面度誤差值。 

2、對角線法：是以通過實際被測表面上的一條對角線，且平行于另一條對角線所作的評定基準面，以平行于此基準面且具有最小距離的兩包容平面間的距離作為平面度誤差值。 

3、最小二乘法：是以實際被測表面的最小二乘平面作為評定基準面，以平行于最小二乘平面，且具有最小距離的兩包容平面間的距離作為平面度誤差值。最小二乘平面是使實際被測表面上各點與該平面的距離的平方和為最小的平面。此法計算較為復雜，一般均需計算機處理。 

4、最小區域法：是以包容實際被測表面的最小包容區域的寬度作為平面度誤差值，是符合平面度誤差定義的評定方法。 

  三、大理石平臺平面度誤差的數據處理 

由上述平面度誤差的測量方法和評定方法闡述可知，測量方法和評定方法不同，數據處理的方法也不相同。選定某一測量方法和評定方法，可能直接得到實際表面的 平面度誤差值，如采用打表法進行測量，再用對角線法評定其平面度誤差，則可不必進行數據處理，可直接得到測量結果；采用水平儀進行測量，則不論采用何種評 定方法，均需進行數據處理；而對于任何一種測量方法，如果按最小區域法來評定其平面度誤差，都必須進行數據處理才能得到平面度誤差值。 

另外，還應注意到，測量基準面和評定基準面一般是不重合的（或說不平行的）。尤其是符合最小條件的評定基準面的位置是按實際表面的形狀確定的，不可能在測 量之前預先確定，如圖一所示。且測量所得到的原始數據中的最大值與最小值并不一定是實際表面上的最高點和最低點，故在數據處理之前，一般應根據所測數據對 實際表面的形狀特征進行大致分析，初步判斷實際表面是凸形、凹形、鞍形或其它復雜形態，以免過多重復計算花費時間，必要時還可畫出其數據空間分布示意圖， 進而確定其評定基準面。 

數據處理方法有：解析法、坐標變換法和投影作圖法等。其中坐標變換法對數據處理帶有一般性，應該熟練掌握。 

坐標變換法是將被測實際表面上各點對測量基準面的坐標值，轉換為與評定方法相對應的評定基準面的坐標值。由于評定基準面的旋轉可使各測得值產生不同的變 化，從而獲得不同的評定結果。坐標變換法又稱為旋轉法，其實質是在測得數據上加上一對應的等差數列。各測點的旋轉量如圖二所示。 

當采用最小區域法評定實際表面的平面度誤差時，最小區域法判別準則亦應熟練掌握，才能在數據處理之前做到胸有成竹，避免過多重復計算而少走彎路。平面度最 小區域的判別準則是：由兩平行平面包容實際被測要素時，實現至少三點或四點接觸，且具有下列形式之一者，即為最小區域 最大值與最小值可直接得到被測表面的平面度誤差值為： 

f1= 90-(-50)=140μm。 

2、三遠點法確定平面度誤差 

選擇a3、b1、c 2三點組成的三角形作為評定基準面，采用旋 

轉法將此三點旋轉至等高，計算旋轉量，并將各點旋轉量與原始 

數據各對應點相加，可得評定數據如圖五所示。 

建立方程組： 解之得： 

由評定數據可知，過最高點b2 ＝115和最低點a1=0，可作兩包容平面且平行a 3=b1=c3=5 組成的三角形評定基準面，則被測實際表面的平面度誤差值為：f 2 =115 - 0 =115μm。 

3、最小包容區域法確定平面度誤差 

由原始數據分析，實際表面為凸型，可實現三角形準則，今選擇a1、a3、c2三點組成的三角形平面作為一個包容平面，采用旋轉法將此三點旋轉至等高，計算旋轉量，并將各點旋轉量與原始數據各對應點相加，可得評定數據如圖六所示。 

建立方程組： 解之得： 

由評定數據可知，最高點b2 =111.75，最低點a1=a3=c2 =0，其余各點的坐標值均在最高點與最低點之間，過最高點和最低點作兩包容平行平面，符合最小包容區域的準則，故被測實際表面的平面度誤差值為：f3=111.75 - 0=111.75μm.。 

例二、用水平儀測量某實際表面的平面度誤差，所測數據按測量順序累積后，各測點坐標值（單位：μm），如圖七所示，試確定其平面度誤差值。 

解：采用水平儀測量，不可能直接得到測量結果，現采用坐標變換法進行數據處理，以適用不同評定方法獲得實際表面的平面度誤差值。 

1、 對角線法確定平面度誤差 

將兩對角線的測得值旋轉至等高，計算旋轉量，并將各點旋轉量與 

最大值與最小值可直接得到被測表面的平面度誤差值為： 

f1= 90-(-50)=140μm。 

2、三遠點法確定平面度誤差 

選擇a3、b1、c 2三點組成的三角形作為評定基準面，采用旋 

轉法將此三點旋轉至等高，計算旋轉量，并將各點旋轉量與原始 

數據各對應點相加，可得評定數據如圖五所示。 

建立方程組： 解之得： 

由評定數據可知，過最高點b2 ＝115和最低點a1=0，可作兩包容平面且平行a 3=b1=c3=5 組成的三角形評定基準面，則被測實際表面的平面度誤差值為：f 2 =115 - 0 =115μm。 

3、最小包容區域法確定平面度誤差 

由原始數據分析，實際表面為凸型，可實現三角形準則，今選擇a1、a3、c2三點組成的三角形平面作為一個包容平面，采用旋轉法將此三點旋轉至等高，計算旋轉量，并將各點旋轉量與原始數據各對應點相加，可得評定數據如圖六所示。 

建立方程組： 解之得： 

1、一個最高（低）點在另一包容平面上的投影位于三個最低（高）點所形成的三角形區域內，稱為三角形的準則，如圖三（a）、（b）所示。 

2、兩個最高點的連線與兩個最低點的連線在包容平面上的投影相交，稱為交叉準則，如圖三（c）所示。 

3、一個最高（低）點在另一個包容平面上的投影位于兩個最低（高）點的連線上，稱為直線準則。如圖三（d）所示，直線準則是三角形準則和交叉準則的特殊情況

  四、大理石平臺舉例 

例一、用打表法測量某實際表面的平面度誤差數據（單位μm），如圖四所示，試確定其平面度誤差值。 

解：1、對角線法確定平面度誤差 

因實測數據兩對角線已等高，不必再進行數據處理，根據實測數據的由評定數據可知，最高點b2 =111.75，最低點a1=a3=c2 =0，其余各點的坐標值均在最高點與最低點之間，過最高點和最低點作兩包容平行平面，符合最小包容區域的準則，故被測實際表面的平面度誤差值 為：f3=111.75 - 0=111.75μm.。 

例二、用水平儀測量某實際表面的平面度誤差，所測數據按測量順序累積后，各測點坐標值（單位：μm），如圖七所示，試確定其平面度誤差值。 

解：采用水平儀測量，不可能直接得到測量結果，現采用坐標變換法進行數據處理，以適用不同評定方法獲得實際表面的平面度誤差值。 

1、 對角線法確定平面度誤差 

將兩對角線的測得值旋轉至等高，計算旋轉量，并將各點旋轉量與原始數據各對應點相加，可得評定數據如圖八所示。 

建立方程組： 解之得： 

根據評定數據可得被測實際表面的平面度誤差值為：f 1=37-(-7.5)=44.5μm。 

2、三遠點法確定平面度誤差 

選擇a2、b1、c 3三點組成的三角形作為評定基準面，采用旋轉法將此三點旋轉至等高，計算旋轉量，并將各點旋轉量與原始數據各對應點相加，可得評定數據如圖九所示。 

建立方程組： 解之得： 小包容區域準則，不在交叉線上的其余點均可落在此包容區域內，故實際被測表面的平面度誤差值為：f3=32-(-10)=42μm。 

例三、某被測實際表面的平面度誤差數據（單位：μm），如圖十一所示，數據處理采用投影作圖法，試按最小包容區域法評定其平面度誤差值。 

解：投影作圖法實質是畫法幾何基礎理論中的投影變換法，其中有換面法和旋轉法。將實測數據置于投影體系中，對選定的評定基準面變換成某投影面的垂直面，即可根據相應的評定方法確定被測實際表面的平面度誤差值。 

根據被測實際表面的原始數據判斷為凸形表面，可實現三角形準則。畫出各測點的空間分布示意圖，如圖十二所示。選擇a 3、b1、c2三點組成一個三角形包容平面，若過最高點b 2作另一包容平面，則可實現最小包容區域準則。     

今采用換面法確定其平面度誤差，將各測點向V/H投影體系中進行投影，并將a3、b1、c2 三點組成的三角形平面變換成V1/H新投影體系中的垂直面，其余測點都向V1面投影，過最高點b 2作平行線與垂直面平行，可見其余測點均在兩平行線之間，如圖十三所示。則被測實際表面的平面度誤差為兩平行線之間的坐標值：f=54μm。 若采用投影變換法中的旋轉法亦可確定其平面度誤差值，在此不再贅述。 

由以上三例分析計算可知，數據處理采用坐標變換旋轉法對各種評定方法帶有普遍性，在多作練習和理解之后不難掌握，投影作圖法有一定的直觀性，當按最小區域 法評定平面度誤差時，能較方便地確定基準包容平面。當然實際測量中，所測數據可能多于9個 ，且數值不一定是簡單的整數值，故數據處理還是比較繁復的。